Существует ли два последовательных натуральных числа , сумма цифр каждого из которых делится на 10?

Натуральное число делится на 10 без остатка только если оканчивается на 0, два последовательно идущих числа не могут оканчиваться на 0, следовательно таких чисел не существует.

Да, это возможно. Можно найти эти числа подбором.