Решите пожалуйста логарифмы и объясните как решали - №29950355

Решите пожалуйста логарифмы и объясните как решали
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  gilliand8ff
- 6 лет назад

Ответы 1

Обязательная часть.
Номер 1.
а) $log_{2}(x-2)+log_{2}(x-3)=0$
Найдем ОДЗ (область допустимых значений)
$\left \{ {{x-2>0} \atop {x-3>0}} ight.$
$x\in(3,+\infty)$
Используя $log_{a}x+log_{a}y=log_{a}(x\times y)$
$log_{2}((x-2)\times(x-3))=0$
$log_{2}(x^{2}-5x+6)=0$
Единственный случай, при котором логарифм может быть равен нулю, когда аргумент равен 1
$x^{2}-5x+6=1$
$x^{2}-5x+5=0$
Решаем квадратное уравнение
$D=(-5)^{2}-4\times1\times5=5$
$x_{1}=\frac{5+\sqrt{5}}{2}$
$x_{2}=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$
Проверяем принадлежит ли решение ОДЗ
Ответ: $x=\frac{5+\sqrt{5}}{2}$
б) $log_{0.5}(2x-3)=-2$
Найдем ОДЗ (область допустимых значений)
$2x-3>0$
$x > 1.5$
Т.к. $log_{a}x=b$ равно $x=a^{b}$ , решаем
$2x-3=0.5^{-2}$
$2x-3=(\frac{1}{2})^{-2}$
Используя $(\frac{1}{a})^{-n}=a^{n}$
$2x-3=2^{2}$
$x=3.5$
Проверяем принадлежит ли решение ОДЗ
Ответ: $x=3.5$
Номер 2.
$log_{8}(4-2x)\geq2$
Найдем ОДЗ (область допустимых значений)
$4-2x>0$
$x<2$
$log_{8}(2(2-x))\geq2$ (Вынес общий множитель)
Используя $log_{a}(x\times y)=log_{a}x+log_{a}y$
$log_{8}2+log_{8}(2-x)\geq2$
$log_{2^{3}}2+log_{8}(2-x)\geq2$ (Представил 8 как 2 в кубе)
Используя $log_{a^{y}}a=\frac{1}{y}$
$\frac{1}{3}+log_{8}(2-x)\geq2$
$log_{8}(2-x)\geq\frac{5}{3}$
Для a>1 выражение $log_{a}x\geq b$ равно $x\geq a^{b}$
$2-x\geq8^{\frac{5}{3}}$
$2-x\geq(2^{3})^{\frac{5}{3}}$
$2-x\geq2^{5}$
$2-x\geq32$
$-x\geq30$
$x\leq-30$
Проверяем принадлежит ли решение ОДЗ
Ответ: $x\in(-\infty,-30]$
Дополнительная часть.
Номер 1.
$log_{3}x+log_{\sqrt{x}}x-log_{\frac{1}{3}}x=6$
Используя $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{x^{n}}=x^{-n}$
$log_{3}x+log_{x^{\frac{1}{2}}}x-log_{3^{-1}}x=6$
Используя $log_{a^{y}}a=\frac{1}{y}$
$log_{3}x+2-log_{3^{-1}}x=6$
Используя $log_{a^{y}}b=\frac{1}{y}\times log_{a}b$
$log_{3}x+2-(-log_{3}x)=6$
$log_{3}x+2+log_{3}x=6$
$2log_{3}x+2=6$
$2log_{3}x=4$
$log_{3}x=2$
Т.к. $log_{a}x=b$ равно $x=a^{b}$ , решаем
$x=3^{2}$
$x=9$
Ответ: $x=9$
Номер 2.
lg - это логарифм по основанию 10, т.е $log_{10}x$
$\frac{lg10x}{lgx}\geq2$
Найдем ОДЗ (область допустимых значений)
$\left\{\begin{matrix}10x>0\\x>0\\log_{10}xeq0\end{matrix}ight.$
$x\in(0,1)\cup(1,+\infty)$
Используя $log_{a}(x\times y)=log_{a}x+log_{a}y$
$\frac{lg10+lgx}{lgx}\geq2$
Опираясь, на определение, описанное выше, логарифм с одинаковыми основанием и аргументов равен 1
$\frac{1+lgx}{lgx}\geq2$
Пусть $t=lgx$
$\frac{1+t}{t}\geq2$
$t\in(0,1]$
$lgx\in(0,1]$
Запишем интервал в виде системы
$\left \{ {{lgx>0} \atop {lgx\leq1}} ight.$
Для a > 1 выражение $log_{a}x>b$ равно $x>a^{b}$
Для a > 1 выражение $log_{a}x\leq b$ равно $x\leq a^{b}$
$\left \{ {{x>1} \atop {x\leq10}} ight.$
Проверяем принадлежит ли решение ОДЗ
Ответ: $x\in(1,10]$
- Автор:
  elisahicks
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы

Помогите с географией

Назовите тектонические зоны
- Предмет:
  География
- Автор:
  kamronmora
- 6 лет назад
- Ответов:
  
  3
- Смотреть
Коля, Миша и папа поймали 24 карася. Папа поймал столько, сколько его сыновья вместе, а они поймали карасей поровну. Сколько карасей поймал Коля?

Срочно пожалуйста сделайте краткую запись
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  jordin
- 6 лет назад
- Ответов:
  
  5
- Смотреть
помогите, что такое краски-тембры оркестра?
- Предмет:
  Музыка
- Автор:
  lucyheath
- 6 лет назад
- Ответов:
  
  6
- Смотреть
Ребят тут такое дело...
Ну вопщем объясните что такое глагол 3 лица!!!
Плииииииииииииииииз!!!!!!!!!!!!!
- Предмет:
  Русский язык
- Автор:
  bear
- 6 лет назад
- Ответов:
  
  2
- Смотреть

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years