Решите дифференциальное уравнение : y" + 6y' + 9y = (48x + 8)e^x

Решите дифференциальное уравнение :
y" + 6y' + 9y = (48x + 8)e^x
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  oswaldoxdvq
- 5 лет назад

Ответы 1

$y''+6y'+9y=(48x+8)e^x$
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего данному неоднородному, и частного решения неоднородного дифференциального уравнения.
$y_{OH}=Y_{OO}+\overline{y}_{CH}$
Решим однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному:
$y''+6y'+9y=0$
Составим и решим характеристическое уравнение:
$\lambda^2+6\lambda+9=0\\(\lambda+3)^2=0\\\lambda_1=\lambda_2=-3$
Запишем общее решение однородного уравнения:
$Y=C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x}$
Частное решение будем искать в виде:
$\overline{y}=(Ax+B)e^x$
Найдем первую и вторую производную:
$\overline{y}'=(Ax+B)'e^x+(Ax+B)(e^x)'=Ae^x+(Ax+B)e^x\\\overline{y}''=(Ae^x)'+(Ax+B)'e^x+(Ax+B)(e^x)'=Ae^x+Ae^x+(Ax+B)e^x=\\=2Ae^x+(Ax+B)e^x$
Подставим значения функции и первых двух производных в исходное уравнение:
$2Ae^x+(Ax+B)e^x+6(Ae^x+(Ax+B)e^x)+9((Ax+B)e^x)=(48x+8)e^x$
Сократим на $e^x$ :
$2A+(Ax+B)+6(A+(Ax+B))+9(Ax+B)=48x+8\\2A+Ax+B+6(A+Ax+B)+9(Ax+B)=48x+8\\2A+Ax+B+6A+6Ax+6B+9Ax+9B=48x+8\\16Ax+8A+16B=48x+8$
Так как левая и правая часть равны, то коэффициенты при х и свободные члены также равны. Получаем систему:
$\left\{\begin{array}{l} 16A=48 \\ 8A+16B=8 \end{array}$
$\left\{\begin{array}{l} A=3 \\ A+2B=1 \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} A=3 \\ 3+2B=1 \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} A=3 \\ 2B=-2 \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} A=3 \\ B=-1 \end{array}$
Тогда частное решение имеет вид:
$\overline{y}=(3x-1)e^x$
Общее решение заданного уравнения:
$y=Y+\overline{y}=C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x}+(3x-1)e^x$
Ответ: $y=C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x}+(3x-1)e^x$
- Автор:
  oliver
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ