у короля есть 10 мудрецов. Однажды он выдал первому мудрецу-одну золотую монеты, второму-две, третьему-три, четвёртому-четыре, ........, десятому-десять. затем он сказал, что каждую минуту мудрецы могут просить его выдать девяти из них по одной золотой монете. Если в какой-то момент у всех мудрецов будет поровну, то они могу их забрать. смогут ли мудрецы забрать монеты ?

через 45 минут у них будет поровну

Каждую минуту король выдаёт по одной золотой монете девяти мудрецам, то есть одному монеты не достаётся. Так как в результате у всех должно быть монет поровну, значит, каждый раз нужно, чтобы монету получал тот мудрец, у кого меньше всего монет было сразу.

Пусть через Х минут у мудрецов станет золотых монет поровну. Тогда за это время первый мудрец получит  Х монет, второй мудрец получит (Х-1) монет, так как у него изначально было на одну монету больше, чем у первого. Третьему мудрецу достанется  (X-2) монеты, четвёртому - (Х-3) монеты, и т. д. Десятому мудрецу король выдаст  (Х-9) монет. Всего за Х минут король раздаст  9Х  монет.

X+X-1+X-2+X-3+X-4+X-5+X-6+X-7+X-8+X-9 = 9X

10X - 45 = 9X;      10X - 9X = 45

X = 45    

Ответ : Да, смогут. Через 45 минут у мудрецов будет по 46 золотых монет поровну. А уж в какой последовательности кто-то из них не будет получать монету, они решат сами, на то они и мудрецы.