найдите последнюю цифру числа 1*1+2*2+...+99*99

Разложим число на слагаемые.

Рассмотрим суммы чисел, представляемых в виде:

1) (10k)² = 100k² ≡₁₀ 0

(9 таких чисел)

2) (10k + 1)² + (10k + 3)² = 200k² + 80k + 10 ≡₁₀ 0

3) (10k + 7)² + (10k + 9)² = 200k² + 320k + 130 ≡₁₀ 0

4) (10k + 2)² + (10k + 4)² = 200k² + 120k + 20 ≡₁₀ 0

5) (10k + 6)² + (10k + 8)² = 200k² + 280k + 100 ≡₁₀ 0

(по 10 пар таких чисел)

6) (10k + 5)² = 100k² + 100k + 25 ≡₁₀ 5

(10 таких чисел, так что их сумма делится на 10)

Так как сумма всех чисел делится на 10, число, получаемое при сложении квадратов чисел от 1 до 99, оканчивается цифрой 0.

Ответ: 0.