Даны вершины треугольника АВС . Требуется найти :
а)косинус внутреннего угла при указанной вершине треугольника
б) площадь треугольника АВС
А ( 3, -1, 2) В (-1, 2, 0 ) С (0, 4, 5) , угол при С.
Подробный ответ.

Определяем длины сторон треугольника, а затем используем формулы косинуса угла С и формулу Герона для определения площади.

 Расчет длин сторон    

c АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²+(Zв-Zа)²) = √29 ≈ 5,385165,

a BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²+(Zс-Zв)²) = √30 ≈ 5,477226,  

b AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²+(Zс-Zа)²) = √43 ≈ 6,557439.

cos C = (a² + b² - c²)/(2ab) = (30 + 43 - 29)/(2*√30*√43) = 0,61253.

S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)).  Полупериметр р = 8,709914.

Подставив данные, получаем S = 14,195.

Можно использовать векторный способ.

→АВ = (-4; 3; -2),   →АС = (-3; 5; 3).

Найдем векторное произведение векторов:  

c = a × b  =

i       j        k

ax ay az

bx by bz

 =  

i j k

-4 3 -2

-3 5 3

 = i (3·3 - (-2)·5) - j ((-4)·3 - (-2)·(-3)) + k ((-4)·5 - 3·(-3)) =  

= i (9 + 10) - j (-12 - 6) + k (-20 + 9) = {19; 18; -11}.

Найдем модуль вектора:

|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √(19² + 18² + (-11)²) = √(361 + 324 + 121) =   √806.

Найдем площадь треугольника:  S =  (1/2)√806 ≈  14.195.