Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти: а) длину стороны АВ; б) уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; в) внутренний угол В;
г) уравнение медианы АЕ; д) уравнение и длину высоты СD; е) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне AB и точку М ее пересечения в высотой CD
А(1;-2) B(4;2) C(5;0)

Даны координаты вершин треугольника АВС: А(1;-2) B(4;2) C(5;0).

а) длина стороны АВ = √((4-1)² + (2-(-2))²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

б) уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты.

АВ: (х - 1)/3 = (у +2)/4    это каноническое уравнение,

       4х - 4 = 3у + 6

       4х - 3у - 10 = 0     уравнение общего вида,

        у = (4/3)х - (10/3)   уравнение с угловым коэффициентом, к = 4/3.

ВС: (х -4)/1 = (у -2)/(-2),

      -2х + 8 = у - 2,

       2х + у - 10 = 0,

      у = -2х + 10,    к = -2.

в) внутренний угол В. Его можно найти двумя способами.

1. Находим длины сторон, используя их канонические уравнения, где в знаменателях координаты векторов.

АВ = √(3² + 4²) = 5.

ВС = √(1² + (-2)²) = √5.

АС = √(16 + 4) = √20 = 2√5.

cos B = (25 + 5 - 20)/(5*2√5) = 10/10√5 = √5/5.

B = 1,107148718 радиан  =  63,43494882 градусов .

2. По углу между векторами с учётом, что ВА = -АВ.

cos B = (ax*bx + ay*by)/(|a|*|b|) = (3*(-1) + 4*2)/(5*√5) = 5/(5√5) = √5/5.

г) уравнение медианы АЕ.

Находим координаты точки Е как середины ВС.

Е (4,5; 1).

АЕ = (х - 1)/(3,5) = (у + 2)/3 или с целыми коэффициентами

        (2х - 2)/7 = (у + 2)/3,

        6х - 6 = 7у + 14

        6х - 7у - 20 = 0,

         у = (6/7)х - (20/7).

д) уравнение и длину высоты СD;

к(СД) = -1/к(АВ) = -1/(4/3) = -3/4.

у(СД) = (-3/4)х + в. Для определения "в" подставим координаты точки С, принадлежащей этой прямой.

5 = (-3/4)*0 + в,

в = 5, отсюда уравнение СД = (-3/4)х + 5.    

е) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне AB и точку М ее пересечения в высотой CD .

Е (4,5; 1), А(1;-2) B(4;2). Прямую обозначим ЕК. Это средняя линия треугольника. к(ЕК) = к(АВ).

ЕК = (4/3)х + в. Подставим координаты точки Е.

1 = (4/3)*4,5 + в,  в = 1 - 6 = -5.  ЕК = (4/3)х - 5.

Для определения координат точки М (пересечения ЕК и высоты CD), приравняем их уравнения .

(4/3)х - 5 =  (-3/4)х + 5,

(16х + 9х)/12 = 10,

хМ = 120/25 = 24/5 = 4,8.

уМ = (4/3)*(24/5) - 5 = 32/5 = 6,4.