Исследовать функцию и построить график
y=x-4/x^2

ДАНО: Y = (x³-4)/x²

ИССЛЕДОВАТЬ.

1.Область определения D(x) -  x²≠ 0 - разрыв при Х =0.

Вертикальная асимптота: X = 0.

D(x) - Х∈(-∞;0)∪(0;+∞).  

2. Пересечение с осью Х.  

x³ -4 = 0  при х = ∛4 ≈ 1.6.  

3. Пересечение с осью У – нет – функция не существует.

Интервалы знакопостоянства.

Отрицательна:  Х∈(-∞;0)∪(0;∛4).

Положительна: Х∈(∛4;+∞). .

4. Поведение на бесконечности. limY(-∞) = - ∞  limY(+∞) = +∞.  

Горизонтальных асимптот - нет.  

5. Исследование на чётность.

Y(-x) = (-x³+4)/x² ≠ - Y(x). Y(-x) = -(-x³+4)/x² ≠ - Y(-x).  

Функция ни чётная ни нечётная.  

6. Производная функции.  

Y’(x) = 1 + 8/x³=0 x= ∛8 = -2

7. Локальные экстремумы.  

Максимум  – y(-2) = - 3. Минимума – нет.

8. Интервалы монотонности.  

Возрастает: X∈(-∞;-2)∪(0;+∞), убывает - Х∈(-2;0)  

9. Вторая производная- Y"(x) = 24/x = 0.  

10. Точек перегиба - нет (Только в точке разрыва - Х =0)

Выпуклая - "горка" - Х∈(-∞;0). Вогнутая – «ложка» Х∈(0;+∞).  

11. Область значений Е(у) У∈(-∞;+∞)  

12. Наклонная асимптота. Уравнение: lim(∞)(k*x+b – f(x).    

k=lim(∞)Y(x)/x³ = 1 – разделили на х3 -  

F(x) = (x - 4/x²)/(x²/x²) = x. (Разделили на х2)

Уравнение наклонной асимптоты  F(x) = x.

13. График в приложении