Исследовать функцию на монотонность ,найти экстремумы,построить график функции с помощью производной первого порядка.

y=3x-x^3
Даю 30 БАЛЛОВ

у=3х-х³. Область определения - множество всех действительных чисел.

3х-х³ = 0

х(3-х²)=0 х=√3, х=-√3 - абсциссы точек пересечения с ОХ.

у'=3-3х².

3-3х²=0, х²=1, х=+-1 - критические точки. Определим знаки производной на интервалах.

_________ -1__________1___________

          -                   +                      -

-1 - точка минимума, +1 - точка максимума. у(-1)=-3+1=-2,      у(1)=3-1=2.

График проходит через начало координат, т.к. у(0)=0

ДАНО: Y = -x³ + 3*x

ИССЛЕДОВАТЬ.

1. Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.  

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х₁ = - √3 (-1,73), Х₂ = - 0, Х₃ = √3

Положительна - X∈(Х₁;Х₂)∪(Х₃;+∞), отрицательна - X∈(-∞;Х₁)∪(Х₂;Х₃).

3. Пересечение с осью У.  У(0) = -0.  

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = + ∞  limY(+∞) = -∞  

5. Исследование на чётность.Y(-x) = -Y(x),  

Функция нечётная.  

6. Производная функции.Y'(x)= -3*x² -3  = -3*(x-1)(x+1).  

Корни при Х₁=  +1, Х₂ = -1  Схема знаков производной.

(-∞)__(<0)__(-1)___(>0)___(+1)__(<0)_____(+∞)

7. Локальные экстремумы.  

Максимум Ymax(+1)= 2 , минимум – Ymin(-1) = - 2.  

8. Интервалы возрастания и убывания.  

Убывает - Х∈(-∞;-1)∪(+1;+∞), возрастает - Х∈(-1;+1)

9. Вторая производная - Y"(x) = -6*x =0.  

Корень производной - точка перегиба  Х=0.  Y"(0)= 0.  

9. Выпуклая “горка» Х∈(0;+∞), Вогнутая – «ложка» Х∈(-∞;0).  

10. График в приложении.