Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • С виду правой части f (x) и корням характеристического уравнения определить вид общего решения соответствующего неоднородного дифференциального уравнения.
    λ1=λ2=2, λ3=5, f(x)=3xe^(-3x).

Ответы 1

  • Дифференциальное уравнение по данным: y'''-9y''+24y'-20y=3xe^{-3x}

    Общее решение однородного уравнения y'''-9y''+24y'-20y=0

    \sf y_{o.o.}=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}+C_3e^{5x}

    Найдем частное решение. Рассмотрим функцию f(x)=3xe^{-3x}

    P_n(x)=3x;~~\Rightarrow~~~ n=1;~~~~ \alpha=-3

    Сравнивая α с корнями характеристического уравнения и, принимая во внимая, что n=1, частное решение будем искать в виде:

    Уч.н. =(Ax+B)e^{-3x}

    Найдем теперь производные первого, второго и третьего порядка

    y'=-3e^{-3x}(Ax+B)+Ae^{-3x}\\ y''=9e^{-3x}(Ax+B)-3Ae^{-3x}-3Ae^{-3x}\\ y'''=-27e^{-3x}(Ax+B)+9Ae^{-3x}+18Ae^{-3x}=-27e^{-3x}(Ax+B)+27Ae^{-3x}

    Подставляем в исходное уравнение, получим:

    -27(Ax+B)+27A-81(Ax+B)+54A-72(Ax+B)+54A-\\ -20(Ax+B)=3x\\ -27Ax-27B+135A-81Ax-81B-72Ax-72B-20Ax-20B=3x\\-200Ax+135A-200B=3x

    Приравнивая коэффициенты при степени x, получим

    \displaystyle\left \{ {{-200A=3} \atop {135A-200B=0}} ight. ~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{A=-\frac{3}{200}} \atop {B=-\frac{63}{8000}}} ight.

    Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

    Уо.н. = Уо.о. + Уч.н. = C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}+C_3e^{5x}-e^{-3x}\bigg(\dfrac{3x}{200}+\dfrac{63}{8000}\bigg).

    • Автор:

      robinson
    • 6 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years