Помогите пожалуйста...Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.
y=2x^2-x^4

ДАНО: Y= - x⁴ + 2*x²

ИССЛЕДОВАТЬ с помощью производных.

ДУМАЕМ силой разума - это  парабола четвертого порядка с отрицательным коэффициентом - ветви вниз.

РЕШЕНИЕ

Y =  - x²*(x² -2) = - x²*(x - √2)*(x + √2) - формула - разность квадратов.

1. Область определения - x∈R,  X∈(-∞;+∞).

Вывод - непрерывная, разрывов -  нет, вертикальных асимптот - нет.

И сразу ВИДИМ четыре корня функции.

2. Пересечение с осью Х - в корнях функции: х₁,₂ = 0, х₃ = -√2, х₄ =√2

(на график)

Интервалы знакопостоянства.

Отрицательна: Х∈(-∞;-√2)∪(√2;+∞)

Положительна: Х∈(-√2;0)∪(0;√2)

3. Первая производная - поиск локальных экстремумов.

Y'(x) = - 4*x³ + 4*x = -4*x*(x²-4) = -4*x(x-1)*(x+1) = 0.

Видим три корня производной:  х₁ = -1, х₂ = 0, х₃ = 1.

Это уже кубическая функция и тоже с отрицательным коэффициентом.

Схема знаков:  (-∞)  >0 (-1)  <0 (0)  >0 (1) <0 (+∞)  - это надо видеть.

4. Локальные экстремумы и монотонность.

Максимум: Y(-1) = 1, минимум: Y(0) = 0, максимум: Y(+1) = 1 - (на график)

Возрастает: Х∈(-∞;-1)∪(0;1) и убывает: Х∈(-1;0)∪(1;+∞)

5. Вторая производная поиск точек перегиба.

Y"(x) = -12*x²+ 4 = 0.  x = +/- 1/√3 = +/- √3/3 ≈ 0.58

6. Выпуклая  - "горка" - Х∈(-∞; -0.58)∪(0.58;+∞)

Вогнутая - "ложка" - Х∈(-0,58;0,58) - между корнями Y"(x).