Сколько целочисленных решений (m;n) имеет уравнение m^2+7m−139=n^2?

m² + 7m - 139 = n²

Рассмотрим данное уравнение как

квадратное относительно m:

m² + 7m - 139 - n² = 0

m² + 7m - (139 + n²) = 0

Находим дискриминант:

D = 49 + 4*139 + 4n² =

= 49 + 556 + 4n² = 605 + 4n²

Разложим число 605 на

простые множители: 605 = 5*11*11.

Тогда D = 5*11*11 + 4n²

D - 4n² = 5*11*11

Так как дискриминант должен являться квадратом

целого числа D = k², то рассматриваем случаи

k² - 4n² = 5*11*11 => (k - 2n)(k + 2n) = 5*11*11

k - 2n = 5, k - 2n = 11, k - 2n = 55,

k - 2n = 121 и k - 2n = 605

Соответственно  и для k + 2n.

Имеем набор дискриминантов 63², 33²

и 303². Находим соответственно

корни исходного уравнения:

Для D = 33

m₁ = (-7 - 33)/2 = -40/2 = -20

m₂ = (-7 + 33)/2 = 26/2 = 13

Для D = 63

m₁ = (-7 - 63)/2 = -70/2 = -35

m₂ = (-7 + 63)/2 = 56/2 = 28

Для D = 303

m₁ = (-7 - 303)/2 = -310/2 = -155

m₂ = (-7 + 303)/2 = 296/2 = 148

Таким образом уравнению удовлетворяют

12 решений (m, n) = (-20, -11), (m, n) = (-20, 11), (m, n) = (13, -11) и (m, n) = (13, 11), (m, n) = (-35, -29), (m, n) = (-35, 29), (m, n) = (28, -29) и (m, n) = (28, 29), (m, n) = (-155, -151), (m, n) = (-155, 151), (m, n) = (148, -151) и (m, n) = (148, 151)