Даны уравнения основания равнобедренного треугольника х+у-1=0, боковой его стороны х-2у+4=0, т А(-2;3) лежит на второй его стороне. Найти ее уравнение

Дано: уравнение основания равнобедренного треугольника х+у-1=0, боковой его стороны х-2у+4=0, точка А(-2;3) лежит на второй его стороне. Найти её уравнение.

Находим координаты точки В на основании треугольника, приравнивая уравнения основания и боковой стороны.

х + у - 1 = х - 2у + 4,

3у = 5,   у = 5/3.

х = 1 - у = 1 -(5/3) = -2/3.

Точка В((-2/3); (5/3)).

Находим координаты точки Н как середины отрезка АВ.

Н((-2+(-2/3))/2 = -8/6 = -4/3; (3+(5/3)/2 = 14/6 = 7/3) = ((-4/3); (7/3)).

Угловой коэффициент прямой СН как высоты равнобедренного треугольника равен: к(СН) = -1/к(АВ).

Выразим уравнение АВ относительно у: у = -х + 1. к(АВ) = -1.

Тогда к(СН) = -1/-1 = 1.

Уравнение СН имеет вид у = х + в.

Для определения величины "в" подставим координаты точки Н:

7/3 = 1*(-4/3) + в,   в = (7/3) + (4/3) = 11/3.

Получаем уравнение СН: у = х + (11/3) или в общем виде 3х - 3у + 11 = 0.

Теперь можно получить координаты точки С как точку пересечения прямых ВС и СН, выраженных относительно у.

ВС: у =(1/2)х + 2,  СН: у = х + (11/3).

(1/2)х + 2 = х + (11/3),

х - (1/2)х = 2 - (11/3),

(1/2)х = -5/3,

х = (-5/3)/(1/2) = -10/3,  у = х + (11/3) = (-10/3) + (11/3) = 1/3.

Точка С((1/3); (-5/3)).

По координатам двух точек А и С определяем уравнение этой прямой.

АС: (х + 2)/((-10/3)+2) = у - 3)/((1/3)-3)

АС: (х + 2)/(-4/3) = (у - 3)/(-8/3), после сокращения на (-4/3) получаем каноническое уравнение:

АС:  (х + 2)/1 = (у - 3)/2.

В общем виде 2х + 4 = у - 3 или 2х - у + 7 =0.