50 баллов! В треугольнике заданы вершина А(4,6), уравнения медианы x-5y+7=0 и высоты x+4y-2=0 выходящих из одной вершины. Найти координаты остальных вершин, составить уравнения сторон, а также найти длину высоты треугольника.

Дано: вершина А(4,6), уравнения медианы x-5y+7=0 и высоты x+4y-2=0 выходящих из одной вершины.

Находим координаты вершины В, из которой выходят медиана и высота, приравняв их уравнения.

x-5y+7= x+4y-2,

9у = 9,

у = 9/9 = 1,   х = 2 - 4у = 2 - 4*1 = -2.

Точка В(-2; 2).

Сторона АС перпендикулярна заданной высоте ВН = x+4y-2=0.

Уравнение высоты ВН выразим относительно у: у = (-1/4)х + (1/2).

Угловой коэффициент стороны АС равен:

к(АС) = -1/к(ВН) = -1/(*1/4) = 4.

Тогда уравнение АС имеет вид у = 4х + в.

Для определения величины"в" подставим координаты точки А, которые нам известны.

6 = 4*4 + в, отсюда в = 6 - 16 = -10.

АС: у = 4х - 10.

Найдём координаты точки М - основание заданной медианы.

Уравнение медианы ВМ x-5y+7 = 0 выразим так: у = (1/5)х  + (7/5).

Приравняем уравнения АС и ВМ:  4х - 10 = (1/5)х  + (7/5).

20х -50 = х + 7,

19х = 57,  х = 57/19 = 3,  у = 4*3 - 10 = 2.

Точка М(3; 2).

Находим координаты точки С как симметричной точке А относительно точки М: хС = 2хМ - хА = 2*3 - 4 = 2,

               уС = 2уМ - уА = 2*2 - 6 = -2.

Точка С(2; -2).

Расчет длин сторон:      

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √61 = 7,810249676,

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √25 =  25

,

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √68 =  8,246211251.

По формуле Герона определяем площадь треугольника АВС.

S =  √(p(p-a)(p-b)(p-c)). Подставив данные, получаем S = p = 10,52823,

S  = 19.

Отсюда находим длину высоты ВН:

ВН = 2S/AC = 2*19*/√68 = 38/√68.

Уравнения сторон:

АВ: (х - 4)/6 = (у - 6)/5,

ВС: (х + 2)/4 = (у - 1)/(-3),

АС: (х - 4)/2 = (у -6)/8, или, сократив на 2 имеем (х - 4)/1 = (у -6)/4.