Откуда выводится формула
[tex]\sin(2 \alpha ) = \frac{2 \tan( \alpha ) }{1 + { \tan( \alpha ) }^{2} }[/tex]

Используем следующие формулы преобразования

sin (2a) =2sin(a) cos(a)

tan(a)=sin(a)/cos(a)

sin(a)²+cos(a)²=1

Тогда

sin(2a)=2sin(a) cos(a)

2tan(a)/1+tan(a)²=(2sin(a)/cos(a))/(1+sin(a)²/cos(a)²)=

=2sin(a)/(cos(a)+sin(a)²/cos(a))=

=2sin(a)cos(a)/(sin(a)²+cos(a)²)=

=2sin(a)cos(a)