Преподаватель летнего математического лагеря взял с собой на всё лето несколько рубашек, несколько пар брюк, несколько пар обуви и два пиджака. На каждом уроке он был в брюках, в рубашке и в обуви, а пиджак надевал на некоторых уроках. На любых двух уроках хотя бы один из элементов его одежды или обуви отличался. Известно, что если бы он взял на одну рубашку больше, то смог бы провести на 18 уроков больше; если бы взял на одну пару брюк больше, то смог бы провести на 63 урока больше; если бы взял на одну пару обуви больше, то смог бы провести на 42 урока больше. Какое наибольшее число уроков он смог бы провести при этих условиях?

Пусть преподаватель взял с собой a рубашек, b пар брюк и c пар обуви. Так как преподаватель взял с собой два пиджака, но на уроке мог быть и без пиджака, то считаем, что их было три (один пустой). Итого, уроков было 3 * abc. Из условия задачи:

3(a+1)bc = 3abc + 18 ⇔ 3bc = 18 ⇔ bc = 6

3a(b+1)c = 3abc + 63 ⇔ 3ac = 63 ⇔ ac = 21

3ab(c+1) = 3abc + 42 ⇔ 3ab = 42 ⇔ ab = 14

Пусть одна из переменных равна 1, произведение других двух переменных (которые равны произведению (а произведения нам даны) их и 1) должно быть равно 6, 21 или 14, но это не так.

Тогда:

a = 7, так как НОД(ac, ab) = 7

b = 2, так как НОД(ab, bc) = 2

c = 3, так как НОД(ac, bc) = 3

Так как в задаче спрашивается число уроков:

7 * 2 * 3 = 42

Ответ: 42 урока.