Задано трикутник з вершинами у точках А(1;2), В(-5;3), С(1;-5). Знайдіть рівняння довжини медіани і висоти трикутника, проведених з вершини А.

Даны точки А(1;2), В(-5;3), С(1;-5).

1) Уравнение медианы AM.

Точка М - середина ВС. М((-5+1)/2=-2; (3-5)/2=-1) = (-2; -1).

АМ : Х-Ха = У-Уа

  Х(АМ)-Ха  У(АМ)-Уа

Уравнение АМ: (х - 1)/(-3) = (у - 2)/(-3)     каноническое

                          х - 1 = у - 2,  х - у + 1 = 0   общее

                           у = х + 1                           с угловым коэффициентом.

2) Длина АМ = √(-2-1)² + (-1-2)²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2.

3) Высота АН. Угловой коэффициент этой прямой к = -1/к(ВС).

к(ВС) = Δу/Δх = -8/6 = -4/3.

Тогда к = -1/(-4/3) = 3/4.

Уравнение имеет вид у = (3/4)х + в.

Для определения параметра "в" подставим координаты точки А, через которую проходит прямая.

2 = (3/4)*1 + в,

в = 2 - (3/4) = 5/4.

Уравнение АН: у = (3/4)х + (5/4).

4) Для определения длины высоты АН надо найти площадь треугольника и длину стороны ВС.

Площадь треугольника ABC:      

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| =  21 .

Длина ВС =√((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √100 =  10.

АН = 2S/ВС = (2*21)/10 = 4,2 .