В равнобедренной трапеции ABCD основания AD и BC равны 10 см и 2 см соответственно, а боковые стороны AB=CD=5. Биссектриса угла BAD пересекает продолжение основания BC в точке E. Найдите квадрат биссектрисы угла ABE в треугольнике ABE. Ответ выразите в сантиметрах с точностью до одного знака в дробной части числа и введите в поле ответа.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ:  

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC биссектриса угла А пересекает  

боковую сторону CD в точке Е.  

Найти площадь треугольника АВЕ если AD=2BC AD=AB а площадь трапеции  

равна 18см^2    

Выполним следующие дополнительные построения:  

1) проведем диагональ трапеции через точки B и D,  

 обозначим точку пересечения этой диагонали с биссектрисой  

 как M  

2) продолжим биссектрису за точку E до пересечения  

 с продолжением основания ВС вправо за точку C;  

 пусть точка пересечения N  

Обозначим длину BC за X, а высоту трапеции за H.  

Тогда площадь трапеции есть H * (X + 2X) / 2 = 18,  

отсюда H * X = 12 (этот факт нам пригодится в дальнейшем)  

Очевидно, что BM = MD (из равенства треугольников ABM и ADM  

по двум сторонам и углу между ними) .  

Отсюда следует, что средняя линия треугольника ABD  

проходит через точку M и равна половине AD, то есть X.  

Эта же средняя линия есть и средняя линия трапеции.  

Обозначим пересечение средней линии трапеции со стороной AB точкой P,  

а со стороной CD точкой Q.  

В свою очередь, средняя линия треугольника ABD равна средней  

линии треугольника ABN, откуда следует, что BN равно 2X.  

Теперь обратимся к площадям треугольников. Искомая площадь  

треугольника ABE равна площади треугольника ABN за вычетом  

площади треугольника BNE.  

Очевидно, площадь треугольника ABN равна (H * 2X) / 2 = H * X  

Обратим внимание на подобные треугольники CEN и QEM.  

Так как средняя линия PQ трапеции равна (X + 2X) / 2 = 3/2 * X,  

а средняя линия треугольника ABD равна X, то длина MQ = PQ - PM = X / 2  

Очевидно, что длина CN = BN - BC = 2X - X = X, то есть коэффициент подобия  

трегольников равен 2 (или, если угодно, 1/2).  

Отсюда следует, что высота треугольника CEN в 2 раза больше высоты  

треугольника QEM (рассматриваются высоты, проведенные из точки E).  

А кроме того, сумма этих двух высот составляет половину высоты трапеции H.  

Обозначая высоту треугольника QEM за h, имеем очевидное уравнение:  

h + 2h = H / 2, 3h = H / 2, h = H / 6, 2h = H / 3.  

Теперь у нас есть все, чтобы определиться с площадью треугольника BNE.  

Его основание BN равно 2X, высота равна 2h = H / 3. Следовательно,  

его площадь равна (H / 3) * 2X / 2 =  (H * X) / 3.  

Итак, площадь треугольника ABE = H * X - (H * X) / 3 = 2/3 *(H * X).  

Вспоминаем наш факт, что H * X = 12 и получаем окончательный ответ  

(если к этому моменту еще не заснули от объяснений) :  

площадь треугольника ABE равна 2/3 * 12 = 8