Точка O центр некоторой окружности, A точка вне окружности, B точка на окружности такая, что AB касательная. AO=8 . Найдите наибольшее возможное значение площади треугольника AOB

16
36
64
144
256

AD - диаметр окружности, описанной около △ABM.

∠ABD=90 (опирается на диаметр)

∠ABO=90 (угол между касательной и радиусом)

∠DBO - развернутый, B∈DO

∠AMD=90 (опирается на диаметр), DM - высота △ADO

В треугольнике ADO высота является медианой =>

△ADO - равнобедреный, углы при основании равны, ∠DAO=∠AOD

△AOB=△AOC (прямоугольные с равными катетами и общей гипотенузой)*

∠AOD=∠AOC

∠DAO=∠AOC => AD||OC (накрест лежащие углы равны)

ОС⊥AC (радиус перпендикулярен касательной) => AD⊥AC

AC - касательная к окружности c диаметром AD.

-------------------------------------------------------------------

*) Треугольники, образованные отрезками касательных из одной точки, радиусами и отрезком, соединяющим точку и центр окружности, равны как прямоугольные (радиус перпендикулярен касательной) с равными катетами (радиусы) и общей гипотенузой.