существуют ли целые числа m и n,для которых верно равенство m^2+2018=n^2?

Нет, не существует. Доказательствоm^2-n^2=2010(m-n)(m+n)=2010Если m и n обе четные или обе нечетные, то произведение слева делится на 4, а 2010 на 4 не делится.Если m и n разной четности, то произведение слева нечетно, а 2010 делится на 2.Других случаев нет. Доказано.