наибольшее значение функции f (x)= 2x^3-9x^2+12x на отрезке 0;2 равно

f(x) =2x³-9x²+12x

Найдём первую и вторую производные и определим экстремальные точки.

f'(x) =6x²-18x+12

6x²-18x+12=0 => x²-3x+2=0 =>

(x-2)(x-1)=0

Экстремальные точки по первой производной - это точки локального максимума или минимума

x=2 и x=1

f"(x)=12x-18

12x-18=0 x=3/2 это точка перегиба.

Определим области возрастания и уменьшения функции в интервалах

(-бесконечность ;1),(1; 3/2), (3/2; 2),(2;бесконечность)

Выберем из этих интервалов точки

0; 5/4; 7/4 и 3

Подставим их в 1ю производную

1) f'(0)=12 >0 функция возрастает

2) f'(5/4)=6(5/4)²-18(5/4)+12=9,375-22,5+12=-1,125<0 функция убывает

3) f'(7/4)=6(7/4)²-18(7/4)+12=18,375-31,5+12= -1, 125 <0 функция убывает

4) f'(3)=6×3²-18×3+12=54-54+12=12 >0 функция возрастает

Таким образом, в заданном интервале [0;2] в точке x=1 имеем локальный максимум. Ордината точки

y=f(1)=5