исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график f(x)=2+x^2-1/3×x^3

ДАНО: Y(x) = - 1/3x³ + x² + 2.  

ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная, гладкая. Нет причин для разрывов - деления на ноль.  

2. Пересечение с осью Х - нуль функции. Y=0 при X₁ ≈ 3.5

Положительна - X∈(-∞;X₁), отрицательна - X∈(X₁;+∞).

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 2.  

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = + ∞  limY(+∞) = -∞  

5. Исследование на чётность.

Ответ силой Разума: если все степени при Х - чётные, то и функция - чётная,  если все степени нечетные - функция нечётные. Смотрим и видим, что в нашей функции и третья степени при Х и вторая. Вывод - ни то, ни сё.

Y(-x) =  1/3*x³ + x² + 2 ≠ - Y(x) ≠ Y(x).

Функция ни чётная ни нечётная.  

6. Производная функции.Y'(x)= -x² +2*х = -x*(x -2).  

Корни при Х₂= 0 и Х₃ = 2. Схема знаков производной.

(-∞)__(<0)__(0)___(>0)___(2)__(<0)_____(+∞)

7. Локальные экстремумы.  

Максимум Ymax(2)= 10/3 = 3 1/3, минимум – Ymin(0)=2.  

8. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает - Х∈[0;2], убывает = Х∈(-∞;0]∪[2;+∞).  

9. Вторая производная - Y"(x) = -2*x +2 = -2*(x-1) =0.  

Корень производной - точка перегиба - при х= 1.  

10. Выпуклая “горка" Х∈[1;+∞), Вогнутая – "ложка" Х∈(-∞;].  

11. График в приложении.