В треугольнике АВС даны уравнения: стороны АВ 3х+2у-12=0, высоты ВМ х+2у-4=0, высоты АМ 4х+у-6=0, где М-точка пересечения высот. Найти уравнения сторон АС, ВС и высоты СМ.

Выражаем уравнения заданных прямых относительно "у".

АВ: 3х+2у-12=0,    у = (-3/2)х + 6.

ВМ: х+2у-4=0,        у = (-1/2)х + 2.

АМ: 4х+у-6=0,        у = -4х + 6.

Находим координаты точки А как точки пересечения АВ и АМ:

(-3/2)х + 6 =  -4х + 6,

(5/2)х = 0,     х = 0,  у = 6.

Точка А(0; 6).

Находим координаты точки В как точки пересечения АВ и ВМ:

(-3/2)х + 6 =  (-1/2)х + 2,

(2/2)х = 4,     х = 4,   у = -2 + 2 = 0.

Точка В(4; 0).

Угловой коэффициент прямой АС как перпендикулярный высоте ВМ равен: к = -1/(-1/2) = 2.

АС: у = 2х + в. Для определения "в" подставляем координаты точки А.

6 = 2*0 + в. Отсюда в = 6 и уравнение АС: у = 2х + 6.

Аналогично находим уравнение ВС.

к(ВС) = -1/(-4) = 1/4.   ВС: у = (1/4)х + в. ⇒ точку В: 0 = (1/4)*4 + 4,  в = -1.

Уравнение ВС: у = (1/4)х - 1.

Находим координаты точки С как точки пересечения АС и ВС:

2х + 6 = (1/4)х - 1,

(7/4)х = -7,     х = -4,   у = 2*(-4) + 6 = -2.

Точка С(-4; -2).

Таким же образом находим уравнение высоты СМ.

СМ: у = (2/3)х + (2/3).

Можно применить формулу:

СМ: Х-Хс = У-Ус

Ув-Уа  Ха-Хв

Получим каноническую форму:

(х + 4)/-6 = (у + 2)/-4.

После приведения к общему знаменателю получим общее уравнение:

2 Х - 3 У + 2 = 0