Докажите, что
[tex] \frac{n {}^{5} }{120} + \frac{n {}^{4} }{12} + \frac{7n {}^{3} }{24} + \frac{5n {}^{2} }{12} + \frac{n}{5} [/tex]

при любом целом n есть число

целое.

Числитель равен

Произведение 5 подряд идущих чисел. Известно, что оно делится на 5!, то есть на 120, то есть на знаменатель. Поэтому исходное выражение целое при целых н.