Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • 100 баллов! Срочно! Исследовать на сходимость ряды
    1) Сума от 1 до бесконечности 1/(n^2 +2n +3)
    2) Сума от 1 до бесконечности sin(pi/2^n)
    3) Сума от 1 до бесконечности 1/(2n+1)!

Ответы 1

  • Ответ: 1) сходится 2) сходится 3) сходится

    Пошаговое объяснение:

    1) Известно, что ряд сумма \frac{1}{n^{\alpha }} сходится при α > 1

    В частности сходится и ряд суммы \frac{1}{n^{2}}

    Т.к. n^{2}+2n+3>n^{2}

    то \frac{1}{n^{2}+2n+3}<\frac{1}{n^{2}}

    По признаку сравнения для положительных числовых рядов из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.

    2) Аргумент синуса убывает от \frac{\pi }{2} для 0

    Следовательно рассматриваемый ряд положителен и для синуса можем записать

    sinx < x

    Исследуем на сходимость ряд сумм \frac{\pi }{2^{n}}

    Найдем для него отношение последующего члена к предыдущему

    D=\frac{\frac{\pi}{2^{n+1}}}{\frac{\pi}{2^{n}}}=\frac{1}{2}<1

    По признаку Даламбера ряд сумм \frac{\pi }{2^{n}} сходится.

    По признаку сравнения для положительных числовых рядов из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами, т.е сходится и ряд сумм sin(\frac{\pi}{2^{n}})

    3. Найдем отношение последующего члена к предыдущему

    D=\frac{\frac{1}{(2n+3)!}}{\frac{1}{(2n+1)!}}=\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}

    При n стремящемся к бесконечности D стремится к нулю, а следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years