Марсель прибавил к некоторому натуральному числу n его наименьший натуральный делитель, больший 1 и получил 770. найдите все такие числа n

Ответ:

768, 763

Пошаговое объяснение:

Внимание! Число n из условия и n из решения - разные числа.

Наименьший натуральный делитель числа, больший 1, в нашем случае - простое число. Докажем это. Пусть такое число a=p*n составное, где p, n∈N, p - простое, n>1. (Очевидно, что p<a, n<a.) Но тогда получается, что число также делится на p, которое меньше a. С другой стороны p≥2(p - простое), а значит это тоже натуральный делитель исходного числа, и при этом он меньше наименьшего такого делителя. Противоречие. Значит a - наименьший простой делитель числа.

Исходное число кратно а, а кратно а, значит и сумма кратна a, то есть 770 кратно а.

• а=2→число равно 770-2=768. Его наименьший простой делитель равен 2. Подходит
• a=5→число равно 770-5=765. 765 кратно 3(т.к. 7+6+5=18=6*3), то есть делится на простое число, меньшее a. Противоречие
• a=7→число равно 770-7=763. 763=7*109, наименьший простой делитель 763 равен 7. Подходит
• a=11→число равно 770-11=759. 759 кратно 3(7+5+9=21=3*7), то есть делится на простое число, меньшее a. Противоречие