В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 164. Найдите стороны треугольника ABC

Ответ:

АВ=136,6 ВС=273,2  АС=246.99

Пошаговое объяснение:

Пусть AL - медиана, а ВК - биссектриса, а т.Н - их точка пересечения.

Рассмотрим треугольник ABL, в нём биссектриса является высотой(пересекаются под прямым углом по условию), следовательно это равнобедренный треугольник. Следовательно, AB=BC=LC. По основному сво-ву  биссектрисы треугольника составим следующую пропорцию: AK/KC=AB/BC, следовательно 2*AK=КС, а АС= 3*КС. (т.к. АВ=2*ВС - по условию). Отсюда АН=НL=164/2=82(т.к. в равнобедренном треугольнике высота=бис=медиане)

После, проведём через вершину В прямую, параллельную АС. Она пересечётся с продолжением АL. Пусть точка пересечения будет Д. Отсюда имеем ВД=АС.

Рассмотрим треугольники АHK и BHД. Они подобны ( по трём углам, угол BHД=AHK=90, а угол HAK= углу BДH(как накрест лежащие)).

Распишем отношения сторон: КН/ВН=АК/ВД=1/3. Следовательно НК=164*1/3=164/3 (это примерно 54,666)

Следовательно ВН=164*2/3=328/3 (это примерно 109,333). Отсюда АВ^2=ВН^2+АН^2, следовательно АВ=136,6, отсюда ВС=2*136,6=273,2

АК^2=HK^2+AH^2, отсюда AК= 82.33. АС=3*82.33=246.99.

(но на ОГЭ советую считать с корнями и не округлять, как это делал я)