Даны координаты точек A (-4,-2,-5), B(1,8,-5), C(0,4,-4), D(9,-2,-10 ).
Найти:
1) уравнение плоскости p , проходящей через точки A B C;
2) канонические уравнения прямой α , проходящей через точку D ,
перпендикулярно плоскости p ;
3) точки пересечения прямой α с плоскостью p и с координатными
плоскостями xoy, xoz, yoz;
4) расстояние от точки D до плоскости p .

Даны координаты точек A (-4,-2,-5), B(1,8,-5), C(0,4,-4), D(9,-2,-10 ).

Найти:  

1) уравнение плоскости p , проходящей через точки A B C.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - x1  y - y1  z - z1  = 0

x2 - x1  y2 - y1  z2 - z1

x3 - x1  y3 - y1  z3 - z1

x - (-4)  y - (-2)  z - (-5)  = 0

1 - (-4)  8 - (-2)  (-5) - (-5)

0 - (-4)  4 - (-2)  (-4) - (-5)

x - (-4)  y - (-2)  z - (-5)  = 0

5                 10                  0

4                 6                  1

(x -(-4))(10·1-0·6) - (y -(-2) )(5·1 -0·4) + (z -(-5))(5·6- 10·4) = 0

10 (x -  (-4) ) +  (-5) (y -  (-2) ) +  (-10) (z -  (-5) ) = 0

10x  -  5y  -  10z -  20  =  0, после сокращения на 5 имеем:

2x  -  y  -  2z -  4  =  0.

2) канонические уравнения прямой α , проходящей через точку D ,

перпендикулярно плоскости p. Нормальный вектор плоскости АВС равен направляющему вектору прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

a: (x - 9)/2 = (y + 2)/(-1) = (z + 10)/(-2).

3) точки пересечения прямой α с плоскостью p и с координатными

плоскостями xOy, xOz, yOz.

Для этого представим прямую а в параметрическом виде:  

 (x-9)/2 = t или x = 2t + 9

(y+2)/(-1) = t или y = -t - 2  

(z+10)/(-2) = t или z = -2t - 10.

Подставив найденные значения x,y,z в уравнение плоскости, получаем:  

4t + 18 + t + 2 + 4t + 20 - 4 =  0  

9t = -36,   t = -36/9 = -4.

Подставим значение t = -4 в параметрическое уравнение прямой. Тогда получим:  

x = 1, y = 1, z = -2.

При пересечении прямой α с координатными  плоскостями xOy, xOz, yOz координаты соответственно равны: z =0, y = 0, x = 0.

z = 0       -2y - 4 = -10       y = 6/2 = 3.

y = 0       x - 9 = 4            x = 4 + 9 = 13.

x = 0       2z + 20 = 18     z = -2/2 = -1.

4) расстояние от точки D до плоскости p .

Это расстояние находится по формуле:  

|ДM| = √((xm-xs)*(xm-xs)+(ym-ys)*(ym-ys)+(zm-zs)*(zm-zs))

Координаты векторов AB, AC, AД равны:

AB = (5,  10,  0)

AC = (4,  6,  1)

AД = (13,  0,  -5)

Координаты векторного произведения AB и AC:   [ABxAC] = (10,  -5,  -10)

Модуль векторного произведения AB и AC: |[ABxAC]| = √(225) = 15

Модуль смешанного произведения AД, AB, AC: |AS[ABxAC]| = 180.

Расстояние от точки S до плоскости ABC вычисляется по формуле

|ДM| = |AS[ABxAC]| / |[ABxAC]|.

|ДM| = 180 / √(225) = 12 = 12.