• Заданы координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 4) объем пирамиды. (0;0;0) (5;2;0) (2;5;0) (1;2;4)

Ответы 1

  • Ответ:

    Пошаговое объяснение:

    Даны координаты вершин пирамиды:

    А1 (1, 1, 1),  А2 (2,

    0, 2),  А3(2, 2, 2), А4 (3, 4, -3).

    Найти:

    1) длину ребра А1А2.

    |A1A2| = √((2-1)²+(0-1)²+(2-1)²) = √3 ≈ 1,73205.

    2) угол α между ребрами А1А2 и А1А3.

    Вектор А1А2: (2-1=1; 0-1=-1; 2-1=1) = (1; -1; 1).

    Вектор А1А3: (2-1=1; 2-1=1; 2-1=1) = (1; 1; 1).

    cos α = |1*1+(-1)*1+1*1|/(√(1²+(-1)²+1²)*√(1²+1²+1²) = 1/(√3*√3) = 1/3.

    α = arc cos(1/3) = 1,2309594

    радиан = 70,528779

    градуса.

    3) площадь грани А1А2А3.

    S = (1/2)*|a × b|.

    Найдем векторное произведение векторов:

    c = a × b.

    a × b = ijkaxayazbxbybz = ijk1-11111 = i ((-1)·1 - 1·1) - j (1·1 - 1·1) + k (1·1 - (-1)·1) = 

     = i (-1 - 1) - j (1 - 1) + k (1 + 1) = {-2; 0; 2}

    Найдем модуль вектора:

    |c| = √(cx² + cy² + cz²) = √((-2)² + 0² + 2²) = √(4 + 0 + 4) = √8 = 2√2.

    Найдем площадь треугольника:

    S = (1/2)*2√2 = √2 ≈ 1,41421356.

    Площадь грани можно также найти по формуле:

    S = (1/2)|A1A2|*|A1A3|*sin α.

    Синус найдём через найденный косинус угла между векторами:

    sin α = √(1-cos²α) = √(1-(1/3)²) = √(8/9) = 2√2/3.

    Модули векторов уже найдены при определении косинуса угла:√3 и √3.

    Площадь грани A1A2A3 равна:

    S = (1/2)*√3*√3*2√2/3 = √2.

    4) объем пирамиды А1А2А3A4 (с учётом, что A1A4 =(2;3;-4)).

    V = (1/6)*|1  -1   1|

                  |1    1   1|

                  |2    3   -4|.

    Так как определитель матрицы

    ∆ = 1*(1*(-4)-3*1)-1*((-1)*(-4)-3*1)+2*((-1)*1-1*1) = -12, то объём равен:

    V = (1/6)*12 = 2.

    5) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4. 

     Длина высоты пирамиды H=3V/Sосн = 3*2/√2 = 3√2 ≈ 4,242641.

    • Автор:

      sashalove
    • 5 лет назад
    • 0
  • Добавить свой ответ

Войти через Google

или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years