В треугольника АВС АВ=ВС, угол САВ =30, АЕ-биссектриса,ВЕ=8 см. Найдите площадь треугольника АВС

∠ВСА = ∠ВАС = 30°, так как треугольник равнобедренный,  

тогда ∠АВС = 180° - 2·30° = 120°  

Проведем ВК - высоту и медиану.  

Обозначим ЕС = х, АК = КВ = у. Тогда АВ = х + 8.  

По свойству биссектрисы:  

ВЕ : ЕС = АВ :АС  

8 : x = (x + 8) : (2y)  

16y = x(x + 8)  

y = x(x + 8)/16  

Из прямоугольного треугольника ВКС по определению косинуса:  

y = BC·cos∠BCK  

y = (x + 8)·√3/2  

Из двух уравнений получаем:  

x(x + 8)/16 = (x + 8)·√3/2  

x/16 = √3/2  

x = 8√3  

AB = BC = 8 + 8√3 (см)  

Sabc = 1/2 · AB · BC · sin120°  

Sabc = 1/2 · (8 + 8√3)²·√3/2 = 16√3(√3 + 1)² = 16√3(4 + 2√3) = 32√3(2 + √3) (см²)