[tex]\frac{3+x}{3x}= \sqrt{ \frac{1}{9}+ \frac{1}{x} \sqrt{ \frac{4}{9} + \frac{2}{x^2} } }[/tex]

(3+x)/3x = √(1/9 + 1/x√(4/9 + 2/x²))

ищем одз и возводим в квадрат

(3+x)/3x >=0

+++++++++++[-3] --------------- 0 ++++++++++

x∈(-∞ -3] U (0 +∞)

(3+x)²/9x² = 1/9 + 1/x√(4/9 + 2/x²)  переносим 1/9 влево и под корнем приводим к общему знаменателю

(9 + 6x + x² - x²)/9x² = 1/x√((4x² + 18)/9x²) сокращаем на 1/x

3(2x+3)/9x = √(4x² + 18)/9x²) возводим снова в квадрат

учитывая дополнительное одз

(2x+3)/3x >=0

++++++++ [-3/2] ----------- (0) +++++++++   x∈(-∞  -3/2] U (0 +∞)

(4x² + 12x + 9)/9x² = (4x² + 18)/9x²  x<>0 сокращаем на 1/9x²

4x² + 12x + 9 = 4x² + 18

12x = 9

x = 9/12 = 3/4

√(1/9 + 4/3√(4/9 + 32/9)) = √(1/9 + 4/3 * 6/3) = √(1/9 + 24/9) = 5/3

(3 + 3/4) * 4/9 = (12 + 3)/4 * 4/9 = 15/9 = 5/3

тождество

x = 3/4