Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости, точки K, M, P - середины отрезков  AB, BC, CD. Докажите, что плоскость KMP параллельна прямым AC и BD.

Рассмотрим треугольник АВС. 

Точки К и М - середины его боковых сторон. Следовательно, КМ, как средняя линия, параллельна ВС. 

Аналогично КР - средняя линия ∆ АВД, и РМ - средняя линия ∆ АСД. 

Пересекающиеся КМ и  КР лежат в одной плоскости и  соответственно  параллельны пересекающимся ВС и ДС, лежащим в другой плоскости. 

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны ( теорема). 

⇒ плоскости КРМ и ВСД параллельны. ч.т.д.