Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-2, y=2x+1. Нарисуйте графики и заштрихуйте фигуру.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-2, y=2x+1. Нарисуйте графики и заштрихуйте фигуру.
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  maryqeud
- 6 лет назад

Ответы 1

Ответ:
10,7
Пошаговое объяснение:
Требуется вычислить площадь, заключенную между параболой y=x^2-2 и прямой y=2x+1.
Найдем точки пересечения параболы и прямой:
$\[\left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} - 2\\y = 2x + 1\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 1 = {x^2} - 2\\y = 2x + 1\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 1 - {x^2} + 2 = 0\\y = 2x + 1\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 2x + 3 = 0\\y = 2x + 1\end{array} ight.\]% MathType!End!2!1!$
$- {x^2} + 2x + 3=0$
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
$D = {b^2} - 4a = {2^2} - 4( - 1)*3 = 4 + 12 = 16$
${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$
${x_1} = \frac{{ - 2 - \sqrt {16} }}{{2*( - 1)}} = \frac{{ - 2 - 4}}{{ - 2}} = \frac{{ - 6}}{{ - 2}} = 3$
${x_2} = \frac{{ - 2 + \sqrt {16} }}{{2*( -1)}} = \frac{{-2+ 4}}{{- 2}} = \frac{2}{{-2}} =-1$
Подставим x в уравнение:
y₁=7; y₂=-1
Получаем две точки пересечения : (3;7) и (-1;-1)
Пределы интегрирования a=-1, b=3. Площадь фигуры равняется:
$S = \int\limits_{- 1}^3 {(2x + 1) - ({x^2} - 2)dx =} \int\limits_{-1}^3 (-{x^2} + 2x + 3)dx =$
$= - \int\limits_{- 1}^3 {{x^2}dx + } 2\int\limits_{- 1}^3 {x *dx}+3\int\limits_{- 1}^3 {1 *dx}=- \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} ight|_{- 1}^3 + 2\left. {\frac{{{x^2}}}{2}} ight|_{- 1}^3+3\left. {\frac{x}{1}} ight|_{ - 1}^3$
$F(3) =- \frac{{{3^3}}}{3} + {3^2} + 3*3 = 9$
$F( - 1) =- \frac{{{{(- 1)}^3}}}{3} + {(-1)^2} + (- 1)*3 =- \frac{5}{3}$
$F(3) - F( - 1) = 9 - (- \frac{5}{3}) = \frac{{32}}{3} \approx 10,7$
Графики прилагаются.
- Автор:
  gutierrez
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ