Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Помогите с линейным дифференциальным уровнением y'tgx+y=cos^(2)x

Ответы 1

  • Ответ:

    y= 1 -\frac{1}{3}sin^2(x)+\frac{C}{sin(x)}

    Пошаговое объяснение:

    y'tgx + y = cos²x

    Решаем методом вариации постоянной (Лагранжа).

    Шаг 1. Решение однородного уравнения

                                  y'tgx + y = 0

    Делим обе части уравнения на y·tgx

                                 y'/y  + ctgx = 0

                                  \frac{y'}{y} + ctgx =0

                                  dy/y = -ctg(x)dx

                                   \frac{dy}{y} =ctg(x) dx

    Интегрируем обе части уравнения

                           \int\limits{\frac{1}{y}} \, dy = -\int\limits{\frac{cos(x)}{sin(x)} } \, dx

                            ln|y| = -ln|sin(x)| + ln|C|

                            ln|y| = ln|C/sin(x)|

                                y = C/sin(x)

    Шаг 2. Заменяем постоянную С на функцию u(x)

                               y = u(x)/sin(x)

    Находим производную

    y' = \frac{u'(x)sin(x)-u(x)cos(x)}{sin^2(x)}

    Подставляем в исходное дифференциальное уравнение

                                          y'tgx + y = 0

    \frac{u'(x)sin(x)-u(x)cos(x)}{sin^2(x)} \cdot tg(x) +\frac{u(x)}{sin(x)} =cos^2(x)

    \frac{u'(x)}{cos(x)} -\frac{u(x)}{sin(x)} +\frac{u(x)}{sin(x)} =cos^2(x)

    \frac{u'(x)}{cos(x)} =cos^2(x)

                                       u'(x) = cos³(x)

                                       du = cos³(x)dx

    Интегрируем обе части уравнения

                           \int\limits {du} = \int\limits {cos^3(x)} \, dx

                        u = \int\limits {cos^2(x)} \, d(sin(x))=\int\limits {(1-sin^2(x))} \, d(sin(x))=sin(x)-\frac{1}{3}sin^3(x)+C

                                u(x) = sin(x) - sin³(x)/3 + C

    Решение уравнения

    y=\frac{sin(x)-\frac{1}{3}sin^3(x)+C}{sin(x)}= 1 -\frac{1}{3}sin^2(x)+\frac{C}{sin(x)}

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years