В клубе джентельменов каждые двое либо друзья, либо враги. У каждого ровно 75 врагов , причём выполняется правило "враг моего друга – враг". Сколько джентельменов могло быть в клубе?

Пошаговое объяснение:

Докажем, что в клубе джентельменов выполняется правило "друг моего друга - друг". У каждого джентельмена ровно по 75 врагов, а правило "враг моего друга - враг" выполняется. Рассмотрим человека и его друга. Так как у человека 75 врагов, то у его друга должны быть те же 75 врагов, следовательно, так как все кроме врагов - друзья, друзья у этих двух человек совпадают. Тогда все джентельмены побьются на несколько групп, скажем, по n человек в каждой (если всего было 75 + n человек). Тогда (75 + n) делится на n. Следовательно, n - делитель 75. Все делители 75: 1, 3, 5, 15, 25, 75. Тогда возможными ответами будут числа 76, 78, 80, 90, 100 и 150.

Ответ: 76, 78, 80, 90, 100 и 150.