В треугольнике ABC биссектриса BK = √21,
она делит сторону AC на отрезки AK=3, KC=9 . Чему равна площадь треугольника
ABC?

Ответ:  Sabc = 4√35 ед².

Пошаговое объяснение: Биссектриса угла делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон. => АВ/ВС = 3/9 = 1/3.

Пусть АВ=х, тогда ВС=3х. <ABK=<CBK = α (ВК - биссектриса угла АВС). По теореме косинусов в треугольнике АВК:

Cosα = (х²+(√21)² - 3²)/(2*х*√21) = (х²+12)/(2*х*√21). (1)

По теореме косинусов в треугольнике CВК:

Cosα = ((3х)²+(√21)² - 9²)/(2*3х*√21) = (9х²-60)/(3*2*х*√21). (2)

(1) = (2) (так как углы равны) =>

(х²+12)/(2*х*√21) = (3х²-20)/(2*х*√21).

Знаменатели одинаковы, значит х²+12 = 3х²-20 => х=4.

Итак, АВ=4, ВС=12, АС = 12. Треугольник равнобедренный c периметром Р = 28. Его площадь равна по Герону:

Sabc = √(14*2*2*10) = 4√35 ед².

Или так: высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна по Пифагору:

h = √(12²-2²) = √140 = 2√35 ед.

Sabc = (1/2)*4*2√35 =4√35 ед².

Ответ Sabc = 4√35 ед².