Найти все а, при каждом из которых уравнение |x-a|-|2x+2|=3 имеет единственное решение.

Пусть 3^x=t,3

​x

​​ =t,  t > 0,t>0,  \sqrt{t^2-5a}=t-a.√

​t

​2

​​ −5a

​

​​ =t−a.

При t-a < 0t−a<0 правая часть уравнения отрицательная, а левая — неотрицательная, поэтому уравнение при t < at<a решений не имеет.

При t-a \geq 0t−a≥0 получаем t^2-5a=t^2-2at+a^2t

​2

​​ −5a=t

​2

​​ −2at+a

​2

​​ , 2at=a^2+5a2at=a

​2

​​ +5a.

При a=0\;a=0 2 \cdot 0 \cdot t =02⋅0⋅t=0 — любое положительное значение t является корнем уравнения, что противоречит условию единственности корня.

При a eq 0\;a≠0 \displaystyle t=\frac{a+5}{2}t=

​2

​

​a+5

​​ . Для этого корня должны выполняться условия t \geq at≥a и t > 0t>0.

Условие \displaystyle \frac{a+5}{2} \geq a

​2

​

​a+5

​​ ≥a выполняется при a \leq 5a≤5.

Условие \displaystyle \frac{a+5}{2} > 0

​2

​

​a+5

​​ >0 выполняется при a > -5a>−5.

Исходное уравнение имеет единственный корень при -5 < a < 0−5<a<0 и 0 < a \leq50<a≤5.

Ответ

(-5;0)\cup (0;5](−5;0)∪(0;5]