Пусть многочлен P(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a0имеет хотя бы один действительный корень и a0 ≠ 0. Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи P(x), можно получить из него число a0 так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.Решение:Приведем схему вычеркивания одночленов, дающую на каждом шаге многочлены, имеющие корни. Пусть многочлен P(x) = axn + bxm + ... + c(a, b, c ≠ 0) содержит не менее трёх членов (xn и xm две старших степени переменной x в P).Если n или m нечётно, вычеркивая в P(x) одночлен bxm или axn соответственно, получим многочлен нечётной степени, имеющий хотя бы один корень.Вычеркивая в дальнейшем другие одночлены, мы получим искомую оследовательность многочленов. Поэтому далее рассматриваем случай, когда n и m чётны.Умножая при необходимости на –1, можем считать, что a > 0. Если c < 0, то в P(x) можно вычеркнуть любой одночлен, отличный от старшего и свободного члена, полученный многочлен P1(x) принимает отрицательное значение c при x = 0 и положительное при достаточно большом x, значит, имеет корень. Далее считаем, что c > 0. Пусть P(t) = 0. Если b > 0, вычеркнем в P(x) одночлен bxm. При больших положительных x значение полученного многочлена P1(x) положительно, но P1(t) = P(t) – btm < 0 (так как t ≠ 0, а m чётно), следовательно P1(x) имеет корни.Если же b < 0, вычеркнем одночлен axn, тогда значения P(x) отрицательны при больших x, но P1(0) = P(0) = c > 0, значит, он тоже имеет корни. По приведенной схеме мы получим в конце многочлен, имеющий корни и содержащий ровно два одночлена, один из которых P(0). Утверждение доказано.