В правильной шестиугольной пирамиде длина бокового ребра равна 1 м. Найти сторону основания пирамиды,при которой ее объем будет наибольшим, а также величину этого объема

Примем сторону основания за а.

Площадь основания равна а²3√3/2.

Проекция бокового ребра на основание равна а.

Тогда высота пирамиды Н = √(1 - а²).

Отсюда определяем функцию зависимости объёма пирамиды от величины стороны основания.

V = (1/3)SoH = (1/3)*(а²3√3/2)*√(1 - а²) = (а²3√3/2)*√(1 - а²)/6.

Производная этой функции равна y' = (а√3(2 - 3a²))/(2*√(1 - а²)).

Приравняем её нулю (достаточно числитель при условии а ≠ 1.

а√3(2 - 3a²) = 0,

2√3а - 3√3а³ = 0,

а(2√3- 3√3а²) = 0,

Получаем 3 корня. а = 0 (не принимаем), а = √(2/3) и а = -√(2/3), который тоже не принимаем.

Ответ: сторона основания пирамиды с боковым ребром 1, при которой её объем будет наибольшим, равна √(2/3.

Объём равен V =  (а²3√3/2)*√(1 - а²)/6 = 2/6 = 1/3.