У малыша Кирюши есть кубики всевозможных размеров, но каждый в единственном экземпляре. Может ли Кирюша полностью заполнить такими кубиками коробку (параллелепипед), не являющуюся кубом, а потом закрыть её плоской крышкой?

http://prntscr.com/lxxiny

Обставляем красный кубик. Думаю, понятно, где будет стоять шестой большой куб.

красный стоит на сером или нет? что под красным?

но это не важно, потому что теперь уже желтый в безвыходном положении, если поставите следующий кубик на серый, вплотную к желтому с нашей стороны, то слева его закрыть уже невозможно

так что в любом случае, ответ отрицательный

Не получится. Возьмём любой из нижних углов коробки. Положим вплотную к стенкам самый маленький кубик. С двух боковых сторон он прилегает к стенкам коробки. Теперь положим вплотную к нему любой другой кубик (который больше, так как одинаковых нет, а мы взяли самый маленький). Теперь кубик окружён с трёх сторон. Однако, не существует кубика, который можно было бы положить вплотную с четвёртой стороны, так как размер этой стороны равен размеру стороны самого маленького кубика. И если смотреть по высоте, то аналогично, если мы положим третий кубик сверху, то останется промежуток, так как высота самого маленького кубика меньше, чем того, который мы поставили рядом с ним.

Мы рассмотрели частный пример, но аналогичная ситуация будет и с любыми другими кубиками.

И даже если начнём заполнять с больших кубиков, то к описанной выше ситуации подойдём уже сверху коробки, только там уже крышка будет играть роль дна коробки

Суть в том, что где бы ни оказался самый маленький кубик, мы его не сможем "залепить" со всех сторон так, чтобы не осталось промежутков.