1) Найти производную сложной функции y=(6x+2)^2.
2) Найти точки максимума и минимума, промежутки возрастания и убывания функций: а) y=1-7x; б) y=8x-x^2+1
3) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=2x^2-8x+2 на отрезке [-2;3]

1) Производная сложной функции y=(6x + 2)²

y' = ((6x + 2)²)' = 2(6x + 2) * (6x + 2)' = 4(3x + 1) * 6 = 24(3x + 1)

2) Точки максимума и минимума, промежутки возрастания и убывания функций

а) y = 1 - 7x

y' = -7

Функция y' не зависит от x и всегда меньше нуля ⇒ y = 1 - 7x убывает на всей числовой прямой, точек максимума и минимума нет.

б) y = 8x - x² + 1

y' = 8 - 2x

8 - 2x = 0   ⇒   x = 4

С помощью метода интервалов определяем знак функции y' на промежутках (-оо; 4) и (4; +оо)

Получаем:

При x ∈ (-оо; 4) функция y' > 0  ⇒ y = 8x - x² + 1 возрастает на промежутке (-оо; 4)

При x ∈ (4; +оо) функция y' < 0  ⇒  y = 8x - x² + 1 убывает на промежутке (4; +оо)

При x = 4, функция y достигает своего наибольшего значения (по определению точки максимума), поэтому x = 4 -- точка максимума

3) Наибольшее и наименьшее значения функции y = 2x² - 8x + 2 на отрезке [-2;3]

y' = 4x - 8

4x - 8 = 0  ⇒  x = 2

Значение 2 принадлежит заданному промежутку, поэтому это значение вместе с концами отрезка подставляем в функцию:

y(-2) = 2*(-2)² - 8*(-2) + 2 = 8 + 16 + 2 = 26

y(2) = 2*2² - 8*2 + 2 = 8 - 16 + 2 = -6

y(3) = 2*3² - 8*3 + 2 = 18 - 24 + 2 = -4

Среди получившихся значений наибольшее значение функции равно 26, наименьшее   --   -6