Одинаковые круги вписаны в треугольник так, что они попарно касаются, но не перекрывают друг друга. Почему треугольник правильный?

Рассмотрим центры окружностей. Соединим их попарно. Так как радиусы равны, то получившийся треугольник равносторонний (*).

Теперь проведем из любого из центров окружностей радиус к касательной (касательной в данном случае выступает сторона базового треугольника). Угол между радиусом и касательной - 90°.

В силу симметрии, расстояние от точки касания до прямой, соединяющей центры окружностей, постоянно, а значит угол также равен 90°. Значит прямая, соединяющая центры окружностей, параллельна стороне базового треугольника. Проводя аналогичные рассуждения для оставшихся сторон, приходим к выводу, что треугольник (*) подобен базовому, а значит базовый - равносторонний, т.е правильный.