Назовём натуральное число k олимпиадным, если у него есть два раз- личных натуральных делителя a и b на одинаковом расстоянии от числа k/3 (то есть |a−k/3| = |b−k/3|). Сколько существует олимпиадных чисел, не превосходящих 2018?

Назовём натуральное число k олимпиадным, если у него есть два раз- личных натуральных делителя a и b на одинаковом расстоянии от числа k/3 (то есть |a−k/3| = |b−k/3|). Сколько существует олимпиадных чисел, не превосходящих 2018?
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  blake83
- 6 лет назад

Ответы 3

все же 9 тоже не подходит так как a и b - должны быть разными.
- Автор:
  missiey764
- 6 лет назад
- 0
Подставим в равенство
$|a-\frac{k}{3}|=|b-\frac{k}{3}|$
выражение $k=a\cdot b$
Тогда получим:
$a\cdot|3-b|=b\cdot|3-a|,$
и, поскольку a и b разные числа, то
$a\cdot(b-3)=b\cdot(3-a);\\2ab-3a-3b=0;\\b=\-\frac{3a}{2a-3};\\a=2,b=6;\,\,a=3,b=3;\\k=12,\,k=9$
То есть, существует только два таких числа: 9 и 12
- Автор:
  jerry83
- 6 лет назад
- 0
Расположим делители числа k в порядке возрастания (естественно, если такие делители существуют).
$\boldsymbol{1;~2;~3;~4;~5;...~\dfrac k5;~\dfrac k4;~\dfrac k3;~\dfrac k2;~k}$
Пусть a < b.
Так как различные натуральные делители a и b расположены на одинаковом расстоянии от числа k/3, то расположены они по разные стороны от числа k/3
$a<\dfrac k3<b$
На числовой оси правее числа k/3 ( то есть больше числа k/3) расположены только два делителя : само число k и k/2.
b = k не подходит по условию, так как делитель a тогда отрицательный
$a = \dfrac k3-\bigg(b-\dfrac k3\bigg)=\dfrac k3-b+\dfrac k3=\dfrac {2k}3-k=-\dfrac k3$
Остаётся единственный вариант $\boldsymbol{b=\dfrac k2}$
$\bigg|b-\dfrac k3\bigg|=b-\dfrac k3=\dfrac k2-\dfrac k3=\dfrac k6\\\\\bigg|a-\dfrac k3\bigg|=\dfrac k3-a=\dfrac k6\\\\a=\dfrac k3-\dfrac k6;~~\Rightarrow~~\boldsymbol{a=\dfrac k6}$
Так как у делителей $\boldsymbol{b=\dfrac k2;~a=\dfrac k6}$ общий знаменатель равен 6, то олимпиадными будут все числа, кратные 6. Тогда олимпиадных чисел, не превосходящих 2018:
2018 : 6 = 336,(3) - 336 чисел
Проверка :
k=6; b=3; a=1; |1-2|=|3-2| =1
k=12; b=6; a=2; |2-4|=|6-4| =2
k=18; b=9; a=3; |3-6|=|9-6| =3 ...
$k=2016;~~~\dfrac k3=672;~~~b=\dfrac k2=1008;~~~a=\dfrac k6=336\\\bigg|a-\dfrac k3\bigg|=\Big|336-672\Big|=336=\bigg|b-\dfrac k3\bigg|=\Big|1008-672\Big|=336$
Ответ : 336 чисел
- Автор:
  sam67
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы

Ответы 3

Топ пользователей