Здравствуйте помогите решить интеграл - [tex]\int\limits {\frac{\sqrt{x} }{\sqrt{x} +1} } \, dx[/tex] .


Я знаю, что тут надо принять [tex]t^{2} =x,[/tex] и [tex]\sqrt{x} =t[/tex] . В итоге получится

[tex]\int\limits {\frac{t}{t+1} } \, dt[/tex]. А как решать это дальше?

Ответ:

Пошаговое объяснение:

√x=t  ;   x=t² ;  (x)'=(t²)' ;  dx=2tdt

∫ (t2t/(t+1))dt=∫2(t²/(t+1))dt  для упрощения дроби к числителю прибавим и отнимем t+1

2∫((t²+t-t-1+1)/(t+1))dt=2∫(t(t+1)-(t+1)+1)/(t+1))dt=2∫(t-1+(1/(t+1))dt=2∫tdt-2∫dt+2(1/(t+1))dt=2(t²/2)-2t-2∫(1/(t+1)d(t+1)=t²-2t+2LnIt+1I+c=x-2√x+2ln(√x+1)+c