Решите уравнения: 1) 1 + х + х^2 + ..... + х^99 = 0 2) х^2 - 2х^3 + 4х^4 - 8х^5 + ..... = 2х +1,

Решите уравнения:
1) 1 + х + х^2 + ..... + х^99 = 0
2) х^2 - 2х^3 + 4х^4 - 8х^5 + ..... = 2х +1, |х|<1
3) 2х + 1 + х^2 - х^3 + х^4 - х^5 + ..... = 13/6, |х|<1
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  butterbuns
- 6 лет назад

Ответы 1

1)
Проверим точку $x = 1$ . Равенство не выполняется.
Значит, домножим и поделим на $x - 1$ .
Получим $\displaystyle {{x - 1 + x^2 - x + x^3 - x^2 \ldots + x^{99} - x^{98} + x^{100} - x^{99}} \over{x - 1}} = \displaystyle{x^{100} - 1 \over{x - 1}}$ .
Имеем $\frac{x^{100} - 1}{x - 1} = 0$ .
Выражение в числителе над $\mathbb{R}$ эквивалентно $x^2 - 1$ , т.к. имеет те же корни $x^{100} = 1 \Rightarrow x = \sqrt[100]{1} = \pm 1$ .
Значит, единственный корень: $x = -1$ .
2)
При данных ограничениях решить уравнение невозможно. Сумма слева может расходиться (т.е равняться $\pm\infty$ ), ведь знаменатель прогрессии $-2x$ .
Пусть $|x| < \frac12$
Слева имеем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Значит выражение можно свернуть в:
$\frac{x^2}{1 + 2x} = 2x + 1$
Или $x^2 = (2x + 1)^2 \Rightarrow (x + 1)(3x + 1) = 0$ .
По условию подходит один корень: $x = -\frac{1}{3}$
3)
Для простоты преобразуем к виду:
$1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \ldots = \frac{13}{6} - 3x$ .
Слева сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
$\frac{1}{1 + x} = \frac{13}{6} - 3x$
$-3x^2 - \frac{5x}{6} + \frac{7}{6} = 0$ .
И корни:
$x = -\frac{7}{9}\\x = \frac{1}{2}$
- Автор:
  mistressutvb
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ