определить производную функции по направлению вектора
в точке М.
находим производную функции и подставляем значение вектора?
а значения точки подставлять в градиент этой функции?
помогите пожалуйста

Ответ: dU/ds(M)=19/√38=√9,5.

Пошаговое объяснение:

Производная в точке М по направлению вектора s: dU/ds=dU/dx(М)*cos(α)+dU/dy(M)*cos(β)+dU/dz(M)*cos(γ), где dU/dx(M), dU/dy(M) и dU/dz(M) - значения частных производных в точке M; α,β,γ - углы между вектором s и осями координат OX, OY и OZ соответственно.

В нашем случае dU/dx=2*x*y+z², dU/dy=x²-1, dU/dz=2*x*z+3*z², так что dU/dx(M)=2*1*(-2)+1²=-3, dU/dy(M)=1²-1=0, dU/dz(M)=2*1*1+3*1²=5. Вычислим направляющие косинусы:

cos(α)=2/√(2²+(-3)²+5²)=2/√38, cos(β)=-3/√38, cos(γ)=5/√38. Проверка: cos²(α)+cos²(β)+cos²(γ)=1, так что направляющие косинусы найдены верно.

Вычисляем производную по направлению: dU/ds(M)=-3*2/√38+0*(-3)/√38+5*5/√38=-6/√38+25/√38=19/√38=19/(√19*√2)=√19/√2=√9,5.