Провести полное исследование и построить график функции y= x^4/x^3-1

Ответ:

1. Область определения: x не равно 1.

2. Область значений -- выясним позже, при рассмотрении поведения функции

3. Функция не является ни чётной, ни нечётной.

4. Точки пересечения с осями координат, в т. ч. нули.

x=0 => y=0

f(x)=0 => x=0

5. Области знакопостоянства

Функция может менять знак при переходе через нули или критические точки

Нуль: 0; критическая точка x=1.

В данном случае критическая точка является простой, поэтому при переходе через неё функция меняет знак. А вот нуль -- чётного порядка (4-го) , поэтому при переходе через него функция не меняет знака.

Двигаемся справа налево по числовой оси:

при x>1 y>0

при 0<x<1>2^(2/3) => f'(x)>0 => f(x) строго монотонно возрастает

1<x<2^(2/3)> f'(x)<0 => f(x) строго монотонно убывает

---------------------------------------------

При переходе через x=2^(2/3) f'(x) меняет знак с "-" на "+" => имеем локальный минимум x=2^(2/3); y=(4/3)*2^(2/3)

---------------------------------------------

0<x<1> f'(x)<0 => f(x) строго монотонно убывает

x<0 => f'(x)>0 => f(x) строго монотонно возрастает

---------------------------------------------

При переходе через x=0 f'(x) меняет знак с "+" на "-" => имеем локальный максимум x=0; y=0

7. Области выпуклости и вогнутости; точки перегиба.

При x, не равном 1:

f''(x) = -(2*(-1)*3x^2)/(x^3-1)^2 - (3*(-2)*3x^2)/(x^3-1)^3 = 6x^2/(x^3-1)^3 * (x^3-1+3) = 6x^2(x^3+2)/(x^3-1)^3

Двигаясь по оси x справа налево и учитывая кратность корней и критической точки, получаем:

x>1 => f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз

0<x<1> f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз

-2^(1/3)<x<0> f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз

---------------------------------------------

При переходе через x=0 f''(x) НЕ меняет знака => x=0 НЕ является точкой перегиба

---------------------------------------------

x<-2(1/3) => f''(x)<0 => f(x) выпукла вверх

---------------------------------------------

При переходе через x=-2^(1/3) f''(x) меняет знак => x=-2^(1/3) является точкой перегиба; y=-2*2^(1/3)

8. Возможные асимптоты.

Вертикальная x=1

Горизонтальных нет, т. к. конечного предела f(x) при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, не существует.

Наклонная: y=x, т. к. при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, x/(x^3-1) стремится к плюс нулю (соответственно, график приближается к асимптоте сверху)

9. Симметричность графика.

Осей и центров симметрии нет.