Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом.Переиметр сечения=18м. Найти радиус полукруга при котором сечение тоннеля является наибольшим, а также величину соответствующей площади сечения. Максимальная площадь?

Ответ: 18/(4 + pi)

Пошаговое объяснение:

Пусть высота тоннеля h, радиус полукруга r.

Периметр сечения равен (состоит из двух высот, нижней стороны прямоугольника и длины полукруга)

2h + 2r + pi * r = 18 => h + r + pi/2 * r = 9 => h = 9 - (1 + pi/2) * r.

Площадь сечения равна

S = 2r * h + 1/2 * pi * r^2 = 2r * (9 - (1 + pi/2) * r) + 1/2 * pi * r^2 =

= 18 * r - (2 + pi) * r^2 + 1/2 * pi * r^2 = -(2 + 1/2 * pi) * r^2 + 18 * r

Получаем параболу, ветви которой направлены вниз. Тогда наимбольшее значение площади достигается в вершине.

r = -18/(-2 * (2 + 1/2 * pi)) = 9/(2 + 1/2 * pi) = 18/(4 + pi)