Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(2;3;1); B(4;1;-2); C(6;3;7); D(-5;-4;8). Вычислите её объём и высоту опущенную на грань ABC.

Объём пирамиды равен (1/6) смешанного произведения векторов (АВ х АС) х АД.

Находим координаты векторов.

АВ = (2; -2; -3), АС = (4; 0; 6), АД = (-7; -7; 10).

Произведение векторов a = АВ = (2; -2; -3), b = АС = (4; 0; 6) равно     a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.

Подставив координаты векторов, получаем (АВ х АС) = (-12; -24; 8)

Теперь находим произведение  (АВ х АС) х АД.

(АВ х АС) х АД =  (-12*(-7) + (-24)*(-7) + 8*10) = (84 + 168 + 80) =

                         = 84 + 168 + 56 = 308 .

Объём равен (1/6)*308 = 154/3 ≈ 51,333 куб.ед.