Пожалуйста, помогите доказать, что n! > [tex]2^{n}[/tex]

при всех n ≥ 4.


интуитивно вижу, что 2^n будет совпадать с одним из членов факториала, а показать это в решении не получается

Ответ:

Пошаговое объяснение:

доказательство методом математической индукции

1) при n=4

 4!=1*2*3*4=24 ; 2ⁿ=2⁴=16 ⇒ 4!>2⁴ неравенство верно

2) предположим что неравенство верно для n=k, k≥4

 k!≥2^k (1)

3) проверим верно ли неравенство для n=k+1

(k+1)!=k!*(k+1);  2^(k+1)=2*2^k

к!(к+1)≥2*2^k  (2) так  как левая часть представляет собой левую часть неравенства (1) умноженную на число k+1 которое >4 а правая часть представляет собой правую часть неравенства (1) умноженную на 2

так как 4>2 то неравенство (2) верно  то есть мы доказали что из того что  из неравенство верно при n=k следует что оно верно для n=k+1

отсюда по методу математической индукции следует что оно верно для всех n (n≥4)